2025 数学建模高教社杯 国赛（E题）建模秘籍&文章代码思路大全

数学建模是一个将数学方法应用于解决现实问题的过程，通常包括以下步骤：

了解问题：首先要深入了解问题的背景和要解决的具体任务。这包括收集相关数据、文献研究和与领域专家交流，以确保对问题有足够的了解。
确定模型：根据问题的性质，选择适当的数学模型。模型可以是微积分、差分方程、统计学方法、优化算法等数学工具的组合。
建立模型：利用选定的数学工具，构建问题的数学模型。这可能涉及到编写方程、制定假设和参数化模型。
求解模型：使用适当的数学技巧来解决模型。这可能需要数值计算、模拟、优化算法等方法。
验证模型：验证模型的准确性，与实际数据进行比较，看模型是否能够有效地描述问题。
分析结果：对模型的结果进行解释和分析，以便为问题提供洞察和解决方案。
撰写报告：将整个建模过程记录在一份清晰、详细的报告中，包括问题描述、模型建立、求解过程、结果分析和结论。

这是一个基于视频图像分析与人体姿态识别的运动轨迹建模问题，其核心目标是通过对立定跳远过程中采集到的视频数据与关键点位置信息进行处理与分析，准确识别出起跳时刻、落地时刻以及滞空阶段的完整运动过程。该问题本质上属于计算机视觉与运动生物力学交叉领域，但其建模思路和方法更贴近于数据驱动下的模式识别与时间序列分析，尤其强调对复杂人体动作的关键节点提取与时间点定位能力。

为什么这样判断？可以从以下几个特征点来说明：

（1）题干明确指出使用AI人体姿态估计技术获取33个关键节点在不同帧中的位置坐标。这种数据形式本质上是一种时空序列数据，其中每一帧代表一个时间点，每个关键节点的坐标构成一个二维或三维空间中的位置向量。因此，问题首先涉及到对这些高维时序数据的建模与处理，为后续的时间点识别提供基础。

（2）问题要求识别起跳和落地时刻，并描述滞空阶段的全过程。这意味着需要从连续的动作序列中找出具有特定物理意义的转折点——起跳标志着身体离开地面，落地则表示重新接触地面。这不仅涉及静态姿态的判断，还涉及动态过程的时序划分，属于典型的时序事件检测问题。在数学建模层面，这类问题常借助滑动窗口法、趋势变化检测或基于能量变化的阈值判断方法来实现。

（3）题干提到“通过摄像头拍摄的图像”、“AI人体姿态识别算法”、“获得人体关键节点在运动过程中不同帧的运动视频和位置坐标信息”。这表明问题已具备较强的信号处理与图像分析背景，但最终目的是从这些数据中提取出能够反映人体运动状态的关键指标，如速度、加速度、角度变化等。这些指标的构建和分析构成了模型的核心部分。

（4）问题强调“描述滞空阶段的运动过程”，即除了简单识别时间节点外，还需对起跳至落地之间的一系列动作进行量化描述。这包括但不限于身体重心轨迹、四肢摆动幅度、躯干倾斜角度、脚部着地姿态等。这些特征可以通过关键点之间的几何关系计算得出，如腿部伸展长度、手臂挥舞轨迹、身体旋转角度等，从而形成一套完整的动作描述体系。

（5）虽然题干未直接提及聚类分析，但从问题类型提示来看，聚类方法在此类问题中具有广泛适用性。例如，在对多个学生进行动作对比分析时，可将每位学生的动作轨迹作为样本，通过K
means等方法对其动作模式进行聚类，进而区分动作优劣或训练水平。此外，对于视频中可能出现的异常帧或噪声干扰，也可采用层次聚类或DBSCAN算法进行异常检测和剔除，提高模型鲁棒性。

（6）问题还隐含了对运动评价标准的需求。在立定跳远项目中，起跳质量、腾空姿态、落地稳定性等因素直接影响最终成绩。因此，建立的模型不仅要能自动识别动作时间点，还要能够量化评估动作的有效性，如起跳瞬间的爆发力、空中姿态的协调性等。这种评估机制可借助机器学习中的分类或回归模型进一步拓展，使整个系统具备一定的智能化反馈能力。

综上所述，尽管问题本身未直接强调聚类方法的应用，但在实际建模过程中，聚类分析作为一种有效的无监督学习手段，可用于动作模式的分类、动作质量的评估、个体差异的识别等多个方面。因此，本题的数学建模应围绕视频数据处理、关键点追踪、时序事件检测与运动过程描述展开，结合聚类思想以提升模型的泛化能力和实用性，从而实现对学生立定跳远动作的精准识别与科学分析。

# 问题1解答：立定跳远运动过程建模

## 问题理解

本题要求基于AI人体姿态估计技术获取的33个关键节点位置信息，确定立定跳远运动员的起跳和落地时刻，并描述滞空阶段的运动过程。这是一个典型的基于时间序列数据分析的运动过程识别问题。

## 解决思路

根据解题图所示流程，我们采用以下步骤解决该问题：

1. **数据预处理**：帧序列对齐与关键点提取、去除噪声与插值处理
2. **关键点运动轨迹分析**：识别起跳点、落地点和滞空阶段轨迹
3. **运动过程建模**：分析起跳瞬间、腾空姿态和落地姿势
4. **聚类分析**：使用K
means或DBSCAN方法对动作阶段进行分组

## 具体解决方案

### 第一步：数据预处理

设原始数据为 $$\{P_{i,j}\}_{i=1}^{n}, j=1,2,...,33 $$，其中 $$P_{i,j} = (x_{i,j}, y_{i,j}) $$表示第 $$i $$帧中第 $$j $$个关键点的坐标。

**噪声去除与插值处理**：

 对缺失的数据点使用线性插值进行填补

 使用移动平均滤波器去除异常值

 公式：$$\hat{x}_i = \frac{1}{k}\sum_{j=
k/2}^{k/2} x_{i+j} $$

### 第二步：关键点选择与轨迹分析

#### 起跳点识别
选择腿部关键点（如膝盖、脚踝）作为主要参考点，定义起跳时刻为：
$$t_{jump} = \arg\min_{t} \left( \sum_{j \in legs} \|P_{t,j} 
 P_{t
1,j}\|^2 \right) $$

#### 落地点识别
选择足部关键点（脚尖、脚跟），落地时刻为：
$$t_{land} = \arg\max_{t} \left( \sum_{j \in feet} \|P_{t,j} 
 P_{t
1,j}\|^2 \right) $$

### 第三步：滞空阶段轨迹分析

计算身体重心轨迹：
$$C(t) = \frac{\sum_{j=1}^{33} w_j P_{t,j}}{\sum_{j=1}^{33} w_j} $$

其中权重 $$w_j $$根据人体部位重要性设定。

### 第四步：聚类分析方法

#### 方法一：K
means聚类
将整个跳远过程划分为三个阶段：