2024“华数杯”国际大学生数学建模竞赛（A题）| 建模秘籍&文章代码思路大全

铛铛！小秘籍来咯！
小秘籍希望大家都能轻松建模呀，华数杯也会持续给大家放送思路滴~
 抓紧小秘籍，我们出发吧~

代码思路已更新！

完整内容可以在文章末尾领取！

问题重述：
2024 “Huashu Cup” 国际数学建模大赛 - Problem A: 放射性 Tritium 污染问题

背景：2011年3月，日本东海岸发生地震引发福岛第一核电站事故，导致三座核反应堆熔毁。为了冷却熔化的核燃料，海水被持续注入反应堆，产生大量受放射性核素污染的冷却水。尽管受到各国民众的反对，日本政府于2023年8月24日强制性地向太平洋排放经过处理的福岛放射性冷却水，总量超过100万吨。该排放计划预计将持续至少30年。

问题一：通过建立数学模型，考虑水流、环境等多因素，描述放射性 Tritium 冷却水在海水中的扩散过程。已知截至2023年8月27日零时，日本已向海洋排放1095吨放射性 Tritium 冷却水。如果未来不再排放冷却水，请预测截至2023年9月27日，日本海域内的 Tritium 污染范围和程度。

问题二：假设日本政府在2023年已进行三次排放冷却水，如果未来不再排放，请建立数学模型研究三次排放后 Tritium 冷却水的扩散路径。考虑洋流模式、水流动力学、海底地形、水深变化、潮汐影响和季节波动等因素。请估计需要多长时间，中国领海可能受到污染。

问题三：相关部门在日本政府宣布排放 Tritium 冷却水后，对1万名中国居民进行了调查，调查结果如下表所示。请分析调查结果，评估放射性 Tritium 冷却水排放事件对中国未来渔业经济的长期影响。

表1. 放射性 Tritium 冷却水排放事件后是否购买和食用海鲜的调查结果：

购买并食用海鲜 不再购买食用海鲜 总数
曾购买并食用海鲜 2238 6437 8675
曾不购买食用海鲜 67 1258 1325
总数 2305 7695 10000
问题四：在日本排放 Tritium 冷却水后的30年后，判断全球海域是否会被污染，以及哪个地方可能受到污染最严重。请预测完全污染的年份和最受影响的地区。

问题五：基于你的研究，向联合国环境规划署写一封1页的建议信。附上你的研究摘要、目录、完整解决方案以及参考文献列表。注意总页数不超过25页。

问题一
问题一的解题建模思路：
1. 问题分析：
问题一要求通过建立数学模型，考虑水流、环境等多因素，描述放射性 Tritium 冷却水在海水中的扩散过程。我们需要确定 Tritium 污染在未来一个月内的扩散范围和程度。

2. 建立扩散模型：
考虑 Tritium 冷却水的扩散，我们可以使用扩散方程进行建模。该方程可以描述 Tritium 浓度在时间和空间上的变化。使用二维偏微分方程来表示 Tritium 浓度的演化：

∂ C ∂ t = D ∇ 2 C \frac{\partial C}{\partial t} = D \nabla^2 C
∂t
∂C
​
 =D∇ 
2
 C

其中，C CC 是 Tritium 浓度，D DD 是 Tritium 的扩散系数，∇ 2 \nabla^2∇ 
2
 是 Laplace 算子，t tt 是时间。这个方程考虑了 Tritium 在海水中的扩散过程。

3. 边界条件的考虑：
边界条件对模型的准确性至关重要。考虑海域的边界上的海水流动、地形等因素。流动边界条件可通过引入流速、地形边界条件可通过考虑海底地形等因素，以模拟 Tritium 浓度在边界上的变化。

4. 初始条件的设定：
设定 Tritium 浓度的初始条件，根据问题描述，使用已排放的1095吨 Tritium 冷却水作为初始条件。

5. 数值求解：
使用数值方法进行求解，如有限差分法。通过离散化时空域，迭代计算 Tritium 浓度的变化。在每个时间步和空间点上，使用扩散方程更新 Tritium 浓度。

6. 预测 Tritium 污染范围和程度：
通过数值求解得到 Tritium 浓度分布，预测 Tritium 污染在未来一个月内的扩散范围和程度。可视化结果、绘制 Tritium 浓度的等值线图或三维图，以更好地理解 Tritium 污染的传播情况。

7. 结果分析：
分析模型预测的结果，考虑水流、环境等因素对 Tritium 污染的影响。结果将提供 Tritium 污染在海域中的传播情况的详细信息。

这一综合建模思路考虑了 Tritium 污染的多个方面，包括水流、环境、边界条件等因素。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 模型参数
D = 0.1 # Tritium 扩散系数
dt = 0.01 # 时间步长
dx = 0.1 # 空间步长
T = 30 # 模拟总时间
L = 100 # 空间范围

# 空间和时间的离散化
Nx = int(L / dx)
Nt = int(T / dt)

# 初始化 Tritium 浓度场
C = np.zeros((Nt, Nx))
C[0, int(Nx / 2)] = 1095 # 设置初始条件

# 数值求解
for n in range(1, Nt):
  for i in range(1, Nx - 1):
    C[n, i] = C[n - 1, i] + D * dt / dx**2 * (C[n - 1, i + 1] - 2 * C[n - 1, i] + C[n - 1, i - 1])

# 可视化结果
plt.imshow(C, extent=[0, L, 0, T], aspect='auto', cmap='viridis')
plt.colorbar(label='Tritium 浓度')
plt.title('Tritium 污染扩散模拟')
plt.xlabel('空间')
plt.ylabel('时间')
plt.show()

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
问题二
问题二的建模思路和公式：
1. 建立扩散模型：
继续使用扩散方程来描述 Tritium 冷却水的扩散过程。考虑 Tritium 浓度在海水中的时空演化。在此基础上，引入三次排放的时间阶段。

∂ C ∂ t = D ∇ 2 C \frac{\partial C}{\partial t} = D \nabla^2 C
∂t
∂C
​
 =D∇ 
2
 C

其中，C CC 是 Tritium 浓度，D DD 是 Tritium 的扩散系数，∇ 2 \nabla^2∇ 
2
 是 Laplace 算子，t tt 是时间。这个方程描述 Tritium 在海水中的扩散。

2. 引入洋流和海洋动力学：
考虑洋流模式和海洋动力学对 Tritium 扩散的影响。引入流速场 V ( x , y , t ) V(x, y, t)V(x,y,t)，使 Tritium 浓度方程变为：

∂ C ∂ t = D ∇ 2 C − ∇ ⋅ ( V C ) \frac{\partial C}{\partial t} = D \nabla^2 C - \nabla \cdot (V C)
∂t
∂C
​
 =D∇ 
2
 C−∇⋅(VC)

这个方程考虑 Tritium 浓度的扩散和流动的影响。

3. 海底地形和水深：
引入海底地形高度 h ( x , y ) h(x, y)h(x,y) 和水深 H ( x , y ) H(x, y)H(x,y)。考虑海底地形和水深对 Tritium 浓度扩散的影响：

∂ C ∂ t = D ∇ 2 C − ∇ ⋅ ( V C ) + ∂ ∂ z ( D h ∂ C ∂ z ) \frac{\partial C}{\partial t} = D \nabla^2 C - \nabla \cdot (V C) + \frac{\partial}{\partial z}\left(D_h \frac{\partial C}{\partial z}\right)
∂t
∂C
​
 =D∇ 
2
 C−∇⋅(VC)+ 
∂z
∂
​
 (D 
h
​
  
∂z
∂C
​
 )

其中，D h D_hD 
h
​
 是 Tritium 在垂直方向的扩散系数，z zz 表示水深方向。

4. 潮汐和季节波动：
引入潮汐和季节性的变化，将流速场和海底地形高度视为变化的函数。这可以通过引入适当的潮汐和季节波动函数来体现。

5. 数值求解和模拟：
使用数值方法对上述方程进行离散化，例如有限差分法。在每个时间步和空间点上，求解 Tritium 浓度的变化。

6. 估计中国领海污染时间：
根据模型的数值求解结果，估计 Tritium 污染可能到达中国领海的时间。考虑各种因素的影响，提供一个相对准确的估计。

7. 结果分析：
分析模型的结果，可视化 Tritium 浓度的时空分布。考虑洋流、水动力学、海底地形、水深、潮汐和季节波动等因素对 Tritium 污染扩散路径的影响。

其中，我们使用有限差分法进行数值求解。
当使用有限差分法求解 Tritium 污染扩散模型时，我们需要将偏微分方程离散化，以便进行数值求解。以下是求解 Tritium 污染扩散模型的有限差分法步骤：

1. 空间和时间离散化：
将空间和时间离散化，将求解区域划分为网格。假设空间方向为 x xx 和 y yy，时间方向为 t tt。设网格步长为 Δ x \Delta xΔx、Δ y \Delta yΔy 和 Δ t \Delta tΔt。

定义网格点位置：

空间网格点：( i , j ) (i, j)(i,j)，i ii 表示 x xx 方向上的索引，j jj 表示 y yy 方向上的索引。
时间网格点：n nn，n nn 表示时间步数。
2. 离散化扩散方程：
使用中心差分法离散化扩散方程，考虑流动项和可能的垂直方向扩散项：

C i , j n + 1 − C i , j n Δ t = D ( C i + 1 , j n − 2 C i , j n + C i − 1 , j n Δ x 2 + C i , j + 1 n − 2 C i , j n + C i , j − 1 n Δ y 2 ) − ∇ ⋅ ( V C ) + ∂ ∂ z ( D h ∂ C ∂ z ) \frac{C_{i,j}^{n+1} - C_{i,j}^n}{\Delta t} = D \left(\frac{C_{i+1,j}^n - 2C_{i,j}^n + C_{i-1,j}^n}{\Delta x^2} + \frac{C_{i,j+1}^n - 2C_{i,j}^n + C_{i,j-1}^n}{\Delta y^2}\right) - \nabla \cdot (V C) + \frac{\partial}{\partial z}\left(D_h \frac{\partial C}{\partial z}\right)
Δt
C 
i,j
n+1
​
 −C 
i,j
n
​
 
​
 =D( 
Δx 
2
 
C 
i+1,j
n
​
 −2C 
i,j
n
​
 +C 
i−1,j
n
​
 
​
 + 
Δy 
2
 
C 
i,j+1
n
​
 −2C 
i,j
n
​
 +C 
i,j−1
n
​
 
​
 )−∇⋅(VC)+ 
∂z
∂
​
 (D 
h
​
  
∂z
∂C
​
 )

这里 C i , j n C_{i,j}^nC 
i,j
n
​
 表示 Tritium 浓度在网格点 ( i , j ) (i, j)(i,j) 处的值。

3. 边界条件：
设置合适的边界条件，考虑海域边界上 Tritium 浓度的变化。边界条件将直接影响 Tritium 的扩散路径。

4. 数值求解：
使用数值方法，例如迭代法，求解上述离散化后的方程。按照时间步和空间点进行迭代，更新 Tritium 浓度的值。

5. 结果分析：
分析模型的数值求解结果，可视化 Tritium 浓度的时空分布。通过观察结果，可以了解 Tritium 污染在海域中的传播情况，考虑洋流、水动力学、海底地形、水深等因素的影响。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 模型参数
D = 0.1 # Tritium 扩散系数
Dh = 0.05 # Tritium 垂直方向扩散系数
Dt = 0.01 # 时间步长
Dx = Dy = 0.1 # 空间步长
T = 30 # 模拟总时间
Lx = Ly = 100 # 模拟空间范围

# 空间和时间的离散化
Nx = int(Lx / Dx)
Ny = int(Ly / Dy)
Nt = int(T / Dt)

# 流速场（示例：匀速流场）
Vx = np.ones((Nx, Ny)) * 0.1
Vy = np.zeros((Nx, Ny))

# 初始化 Tritium 浓度场
C = np.zeros((Nt, Nx, Ny))

# 数值求解
for n in range(1, Nt):
  for i in range(1, Nx - 1):
    for j in range(1, Ny - 1):
      # 离散化扩散方程
      diffusion_term_x = D * Dt / Dx**2 * (C[n-1, i+1, j] - 2*C[n-1, i, j] + C[n-1, i-1, j])
      diffusion_term_y = D * Dt / Dy**2 * (C[n-1, i, j+1] - 2*C[n-1, i, j] + C[n-1, i, j-1])
      advection_term = Dt * (Vx[i, j] * (C[n-1, i+1, j] - C[n-1, i-1, j]) + Vy[i, j] * (C[n-1, i, j+1] - C[n-1, i, j-1]))
      vertical_diffusion_term = Dt * Dh * ((C[n-1, i, j+1] - 2*C[n-1, i, j] + C[n-1, i, j-1]) / Dy**2)
       
      # 更新 Tritium 浓度
      C[n, i, j] = C[n-1, i, j] + diffusion_term_x + diffusion_term_y - advection_term + vertical_diffusion_term

# 可视化结果
fig, axs = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 5))

# Tritium 浓度的时空分布
cmap = axs[0].imshow(C[-1, :, :], extent=[0, Lx, 0, Ly], aspect='auto', cmap='viridis')
axs[0].set_title('Tritium 污染扩散时空分布')
axs[0].set_xlabel('空间 (x)')
axs[0].set_ylabel('空间 (y)')
fig.colorbar(cmap, ax=axs[0], label='Tritium 浓度')

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
问题三
1. 数据处理和分析：
计算购买和不购买海鲜现在的人中，过去吃过和没吃过海鲜的比例：
方法： 利用表格中的数据进行计算。
具体步骤：
计算 P ( E ∣ B ) P(E|B)P(E∣B)，P ( N ∣ B ) P(N|B)P(N∣B)，P ( E ∣ N B ) P(E|NB)P(E∣NB)，P ( N ∣ N B ) P(N|NB)P(N∣NB) 的比例。
使用以下公式：
P ( E ∣ B ) = Used to eat seafood and Eat seafood now Eat seafood now P(E|B) = \frac{\text{Used to eat seafood and Eat seafood now}}{\text{Eat seafood now}}
P(E∣B)= 
Eat seafood now
Used to eat seafood and Eat seafood now
​
 
制作柱状图或饼图，展示不同群体的态度分布：
方法： 使用数据可视化工具展示不同群体的态度分布。
具体步骤：
制作柱状图，展示购买和不购买海鲜现在的人中过去吃过和没吃过海鲜的比例。
使用饼图，显示整体态度的分布。
2. 购买海鲜态度变化分析：
计算购买海鲜现在的人中，过去吃过和没吃过海鲜的比例：
方法： 利用相同的比例计算方法，根据时间分段计算不同时期的态度变化。
具体步骤：
将时间分为不同的阶段，例如每个月或每季度。
对每个阶段计算 P ( E ∣ B ) P(E|B)P(E∣B)，P ( N ∣ B ) P(N|B)P(N∣B)，P ( E ∣ N B ) P(E|NB)P(E∣NB)，P ( N ∣ N B ) P(N|NB)P(N∣NB)。
分析各个类别的趋势：
方法： 使用统计方法和数据可视化工具，如折线图。
具体步骤：
利用折线图展示各个类别在不同时间段内态度的变化趋势。
考察趋势是否表现出明显的上升、下降或波动。
3. 长期影响分析：
使用相关性分析方法：
建立数学模型：
方法： 使用Pearson相关系数进行相关性分析，了解不同因素与态度的关系。
具体步骤：
对每个可能影响态度的因素进行数据收集，例如地理位置、年龄、性别等。
计算各个因素与态度的Pearson相关系数，评估它们之间的线性相关性。
分析相关系数的方向和强度，判断哪些因素可能对态度产生显著影响。
使用时间序列分析方法：
建立数学模型：
方法： 使用ARIMA模型对时间序列进行分析。
具体步骤：
将态度数据按时间进行排序。
检查序列的平稳性，如果不平稳，进行差分操作。
选择适当的ARIMA模型，包括自回归阶数、差分阶数和移动平均阶数。
使用选定的ARIMA模型进行预测。
结果呈现和报告：
图表展示：

对于相关性分析，使用热力图展示各个因素之间的相关性。
对于时间序列分析，制作图表展示实际态度和预测态度的趋势。
报告撰写：

在报告中详细说明相关性分析的结果，包括相关系数矩阵和关键结论。
在报告中展示时间序列分析的结果，包括模型的准确性和对未来态度的预测。
import pandas as pd
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA

# 数据处理和分析
df['Eating_Seafood_Now'] = df['Used_to_eat_seafood'] & df['Eat_seafood_now']
P_E_B = df['Eating_Seafood_Now'].sum() / df['Eat_seafood_now'].sum()
P_N_B = (~df['Eating_Seafood_Now']).sum() / df['Eat_seafood_now'].sum()
P_E_NB = df['Eating_Seafood_Now'].sum() / (~df['Eat_seafood_now']).sum()
P_N_NB = (~df['Eating_Seafood_Now']).sum() / (~df['Eat_seafood_now']).sum()

# 制作柱状图
sns.barplot(x=['E|B', 'N|B', 'E|NB', 'N|NB'], y=[P_E_B, P_N_B, P_E_NB, P_N_NB])
plt.title('Attitude Distribution')
plt.ylabel('Proportion')
plt.show()

# 制作饼图
labels = ['E|B', 'N|B', 'E|NB', 'N|NB']
sizes = [P_E_B, P_N_B, P_E_NB, P_N_NB]
plt.pie(sizes, labels=labels, autopct='%1.1f%%', startangle=90)
plt.axis('equal')
plt.title('Attitude Distribution')
plt.show()

# 购买海鲜态度变化分析
df['Date'] = pd.to_datetime(df['Date'])
df['Month'] = df['Date'].dt.month
attitude_changes = df.groupby('Month')['Eating_Seafood_Now'].mean()
plt.plot(attitude_changes.index, attitude_changes.values, marker='o')
plt.title('Attitude Changes Over Time')
plt.xlabel('Month')
plt.ylabel('Proportion')
plt.show()

# 长期影响分析 - 相关性分析
correlation_matrix = df.corr()
sns.heatmap(correlation_matrix, annot=True, cmap='coolwarm', linewidths=.5)
plt.title('Correlation Matrix')
plt.show()

# 长期影响分析 - 时间序列分析
time_series_data = df[['Date', 'Attitude']].set_index('Date')
p, d, q = 1, 1, 1 # 选择适当的ARIMA模型参数
model = ARIMA(time_series_data['Attitude'], order=(p, d, q))
fit_model = model.fit()
forecast = fit_model.predict(start=len(time_series_data), end=len(time_series_data) + n_steps - 1, typ='levels')

# 结果展示
plt.figure(figsize=(12, 6))

# 实际态度
plt.plot(time_series_data.index, time_series_data['Attitude'], label='Actual Attitude', color='blue')

# 预测态度
plt.plot(pd.date_range(start=time_series_data.index[-1], #见完整版

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
问题四
1. 模型建立：
使用 Sigmoid 函数进行非线性二元分类：
思路： 利用 Sigmoid 函数对海域是否受到污染进行建模，将输入特征的线性组合映射到 [0, 1] 范围，表示概率。

公式： Sigmoid 函数表示为
σ ( z ) = 1 1 + e − z \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}
σ(z)= 
1+e 
−z
 
1
​
 
，其中 z zz 是输入的线性组合。

2. 模型参数：
输入特征选择：
关键因素： 污染源位置、海洋环流、水深、季节变化等可能影响海域污染的因素将构成模型的输入。
非线性转换：
Sigmoid 函数应用： 使用 Sigmoid 函数对输入进行非线性转换，将其映射到 [0, 1] 范围。
3. 模型建立：
使用 Sigmoid 函数求解非线性问题：
思路： 问题四的目标是判断是否所有世界的海域在30年内会受到污染，属于二元分类问题。Sigmoid 函数是一种常用的二元分类激活函数，能够将输入映射到 [0, 1] 范围内，表示概率。

公式： Sigmoid 函数定义为
σ ( z ) = 1 1 + e − z \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}
σ(z)= 
1+e 
−z
 
1
​
 
其中 z zz 是输入的线性组合。

4. 模型参数：
输入特征：
选择可能影响海域污染的因素： 污染源位置、海洋环流、水深、季节变化等可能是关键因素。这些特征将构成模型的输入。
非线性转换：
Sigmoid 函数应用： 将输入特征的线性组合通过 Sigmoid 函数进行非线性转换，将其映射到 [0, 1] 范围内。
5. 训练模型：
数据集：
历史污染数据： 使用已知的历史污染数据构建训练集，标记海域是否受到过污染。这些标记将成为模型的目标输出。
损失函数：
二元交叉熵： 选择二元交叉熵损失函数，适用于二元分类问题。该损失函数能够衡量模型输出与实际标签之间的差异。
优化算法：
梯度下降： 使用梯度下降等优化算法，通过调整模型参数，使损失函数最小化。这一过程将使模型更好地适应训练数据。
————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「数学建模小secret」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/Mmmath_secret/article/details/135642101