2025年全国大学生数学建模竞赛（D题） 建模解析|小鹿学长带队指引全代码文章与思路

我是小鹿学长，目前就读于上海交通大学，在建模与思路构建方面已经帮助了500多人。
我以深度思考为基础，独辟蹊径地探索建模领域，致力于实现综合建模。本篇文章将深入探讨复杂系统的视角，通过创新的方法帮助解决国赛中的难题。我运用我的专业知识和经验，为大家提供全方位的建模支持和指导，希望能够带领大家走向成功的道路。通过本文的分享，我希望能够激发更多人对建模的热情，并帮助他们在竞赛中取得优异成绩。
让我们一起探索建模的奥秘，共同努力，共同成长！

这是一个网络流算法问题，核心在于模拟和预测矿井巷道系统中突发水流的扩散路径与速度。题干中所描述的场景是一个典型的复杂网络结构下的流体传输问题，其中水流从突水点出发，沿着巷道网络进行传播，受到巷道几何形状、分支结构以及水流动力学特性的影响。

为什么这样判断？可以从以下几个特征点来说明：

（1）题干明确指出“巷道的断面是宽4 m，高3 m的矩形”，并规定水流初始水位为0.1 m，且突水点的突水量恒定为30 m³/min。这些参数构成了水流在巷道中流动的基本物理模型，包括流量、横截面积、水位高度等要素。这种设定直接指向了流体力学中关于液体在管道或通道中流动的建模思路，而在此基础上构建的是一个离散化的网络结构模型。

（2）题目强调“水流漫延到巷道的分叉节点处时，水流向水平巷道和下行巷道平均分流”，这表明水流在网络中的传播具有一定的规则性，即在节点处分流的行为遵循一定的逻辑，类似于图论中的节点流量分配机制。因此，该问题的本质是基于图结构的流量分配问题，属于典型的网络流问题范畴。

（3）问题要求“建立突水水流在巷道的流动漫延模型”，这表明不仅需要模拟水流的路径，还需要考虑时间维度下的动态演化过程。水流在不同巷道段的流动速度、累积水位变化、以及是否达到临界状态（如淹没某个区域）都需要被纳入模型考量。这样的过程非常适合使用图论中的网络流模型来进行建模，尤其是最大流、最小费用流等经典算法的应用场景。

（4）题干中提到“矿井巷道系统根据矿藏分布和矿脉走向布局，通常形成复杂的立体交叉三维网络结构”，而图2给出了一个示意性的巷道网络图，其中包含多个节点和连接线，这些节点代表巷道断面底边中点，线段代表巷道段。这种结构完全符合图论中的有向图或无向图模型，可用于描述水流在巷道中的流向和路径选择。

（5）题干还特别指出“以开始突水时间为零时刻”，并给出各突水点的突水速率，说明这是一个随时间演进的过程，而非静态问题。因此，模型不仅要反映空间上的拓扑结构，还要体现时间上的动态变化，即水流如何随着时间推进逐步扩散至整个巷道系统。

（6）问题类型标注为“网络流算法（最大流/最小费用流）”，这是对该类问题的直接指引。在网络流理论中，最大流问题用于求解从源点到汇点的最大流量，而最小费用流则在满足流量约束的同时最小化运输成本。虽然本题并未直接涉及费用概念，但水流在巷道中的扩散行为本质上也是一种“流”的过程，可以转化为网络流问题进行建模和求解。

综上所述，该问题的核心在于利用图论与网络流理论，结合具体的物理参数，构建一个能够描述突水水流在复杂矿井巷道系统中传播过程的数学模型。其建模基础是将巷道网络抽象为图结构，并在该结构上引入水流流量、水位高度等物理量，从而实现对水流扩散路径和时间响应的模拟与预测。这类问题广泛应用于城市排水系统、交通流分析、电力调度等领域，体现出较强的工程实践价值和数学建模能力要求。

# 问题1：突水水流漫延模型

## 模型建立思路

本题需要建立一个基于图论的网络流模型来模拟突水水流在矿井巷道中的蔓延过程。我们将巷道网络建模为有向图，其中：

 **节点**：表示巷道断面底边中点

 **边**：表示巷道段，权重为该巷道段的长度

 **流量**：表示单位时间内通过该巷道段的水量

## 数学模型构建

### 1. 网络表示
设矿井巷道网络为有向图$G = (V, E)$，其中：

$V$：节点集合，每个节点代表巷道断面底边中点

$E$：边集合，每条边代表一段巷道，权重为巷道长度

### 2. 流量约束
对于每条边$(u,v) \in E$，定义：

$c(u,v)$：该巷道的最大通过能力（单位时间内的最大水量）

$f(u,v)$：实际通过的水量

流量约束条件：
$$0 \leq f(u,v) \leq c(u,v)$$

### 3. 节点守恒
对于每个内部节点$v \in V \setminus \{s,t\}$（其中$s$为突水点，$t$为出口点）：
$$\sum_{u:(u,v)\in E} f(u,v) = \sum_{w:(v,w)\in E} f(v,w)$$

### 4. 分流规则
当水流到达分叉节点时：

 如果节点有水平巷道和下行巷道，则平均分流

 水流初始水位保持为 0.1m

### 5. 时间步长模拟
使用时间离散化方法：
$$t_n = n \cdot \Delta t$$
其中$\Delta t$为时间步长

### 6. 水位计算
巷道内水位$h(t)$可通过以下方式计算：
$$h(t) = \frac{Q \cdot t}{A}$$
其中：

$Q$：突水速率（30 m³/min）

$A$：巷道横截面积（4m × 3m = 12 m²）

因此：
$$h(t) = \frac{30t}{12} = 2.5t \text{ (m)}$$

但注意，实际水位不会超过初始水位0.1m，所以：
$$h(t) = \min(2.5t, 0.1)$$

### 7. 水流传播路径
使用广度优先搜索(BFS)或深度优先搜索(DFS)确定水流传播路径。对于每个节点，按照以下规则进行扩展：

1. 如果当前节点为突水点，则开始向相邻节点传播
2. 对于每个相邻节点，根据是否为分叉点决定如何分配水流
3. 分叉点的水流平均分配给水平巷道和下行巷道