2025年全国大学生数学建模竞赛（E题） 建模解析|立定跳远建模|小鹿学长带队指引全代码文章与思路

我是小鹿学长，目前就读于上海交通大学，在建模与思路构建方面已经帮助了500多人。
我以深度思考为基础，独辟蹊径地探索建模领域，致力于实现综合建模。本篇文章将深入探讨复杂系统的视角，通过创新的方法帮助解决国赛中的难题。我运用我的专业知识和经验，为大家提供全方位的建模支持和指导，希望能够带领大家走向成功的道路。通过本文的分享，我希望能够激发更多人对建模的热情，并帮助他们在竞赛中取得优异成绩。
让我们一起探索建模的奥秘，共同努力，共同成长！

这是一个基于视频分析与人体姿态识别的运动轨迹建模问题，其核心在于通过对视频中人体关键点坐标的提取与分析，确定立定跳远过程中关键动作的时间节点（起跳、落地）以及滞空阶段的运动过程。该问题的实质是将视频数据转化为可量化的运动状态信息，并在此基础上进行时序建模与行为识别。

从问题描述可以看出，题目明确指出了使用AI人体姿态估计技术获取33个关键节点在不同帧中的位置坐标，这些数据构成了后续分析的基础。每一帧的关键点坐标都可以看作是人体在三维空间中的一个快照，而整个跳远过程则是这些快照按照时间顺序排列所形成的轨迹序列。因此，这个问题的数学建模思路应当围绕着对这些时空数据的处理展开。

首先，由于题目要求识别起跳和落地时刻，这意味着需要从连续的视频帧中找出具有特定物理意义的动作转折点。这类问题本质上可以通过时间序列分析来解决，尤其是当关键节点的位置变化在某些帧中表现出剧烈变动时，就可以认为是动作发生转变的标志。比如，起跳时腿部力量爆发导致脚部速度显著提升，手臂摆动幅度增大，身体重心升高；落地时则表现为垂直方向速度骤降，重心迅速降低等特征。这些特征可以转化为关键点的速度、加速度、角度等统计量，进而用于识别动作状态转换的时间节点。

其次，滞空阶段的运动过程分析则涉及对人体在空中姿态的建模。滞空阶段是指从起跳成功至落地完成之间的这段时间，此时人体受到重力影响，主要依靠初始动能维持运动轨迹。在这个阶段，关键点的轨迹变化呈现出一定的规律性，如身体倾斜角度、腿部伸展程度、手臂摆动幅度等。为了准确刻画这一阶段的运动过程，可以构建基于关键点的空间几何关系模型，例如计算身体中心点的位移路径、各肢体关节的角度变化曲线、以及身体姿态的欧拉角等参数。此外，还可以引入时间序列的滑动窗口方法，对每一段时间内的关键点进行局部拟合，从而描绘出滞空阶段的整体运动趋势。

另外，题目中提到的“两位立定跳远运动者”的信息暗示了个体差异的存在，这使得问题进一步复杂化。不同运动员的动作模式、身体素质、技术水平等因素都会影响其跳远过程中的关键节点轨迹。因此，在建模过程中还需考虑个体间的异质性，可能需要采用分组建模的方法，即对每位运动员分别建立模型，或者通过聚类算法自动识别具有相似动作模式的群体，以便更精细地描述各类动作特征。

最后，问题还涉及到对跳远成绩的评估，即如何通过姿态数据来辅助判断运动员的表现优劣。虽然题目并未直接要求建立评分模型，但从实际应用角度出发，可以通过对关键节点的运动参数进行量化分析，如起跳角度、腾空时间、落地距离等指标，结合已有成绩数据，建立一种基于姿态特征的综合评价体系。这样的体系有助于实现对运动表现的客观测量，为教学反馈提供支持。

综上所述，尽管题目并未直接给出具体的数学公式或算法流程，但其本质是一个融合了计算机视觉、信号处理与运动生物力学的综合性建模问题。在解决此类问题时，通常会借助K
means、层次聚类或DBSCAN等聚类方法对不同时间段内的关键点轨迹进行分类，以识别出起跳、滞空和落地等关键阶段。同时，也会运用时间序列分析、空间几何建模等手段对运动过程进行建模，最终达到对运动员动作细节的精准捕捉与分析的目的。

# **问题1解答：基于聚类分析的立定跳远起跳与落地时刻识别**

## **1. 问题理解**

本题旨在通过对视频中33个关键节点的位置数据进行建模，确定运动员在立定跳远过程中的**起跳时刻**和**落地时刻**，并描述其**滞空阶段**的运动过程。这是一个典型的**时序数据分析 + 聚类分析**的问题。

## **2. 数据预处理**

### **2.1 帧序列对齐与关键点提取**

 输入为每帧视频中的33个关键点坐标$(x_i, y_i)$，共$N$帧。

 对每一帧提取出特定的关键点（如脚踝、膝盖、臀部、肩膀等），用于后续建模。

### **2.2 去除噪声与插值处理**

 使用插值法填补缺失帧或异常点（如由于遮挡导致的丢失点）。

 可采用线性插值或样条插值方法，保证轨迹连续性。

## **3. 关键节点分类与运动轨迹建模**

### **3.1 起跳节点识别**

 起跳发生在腿部发力、手臂摆动、身体前倾的过程中。

 可以选择以下关键点作为特征：
  
 左/右脚踝（表示支撑脚）
  
 膝盖、髋关节（反映腿部动作）
  
 肩膀、手肘（反映手臂摆动）

> **定义：** 在起跳瞬间，腿部关节（如膝盖、髋部）发生显著位移变化，同时手臂快速后摆再向前挥舞，形成一个“爆发式”运动特征。

### **3.2 落地节点识别**

 落地发生在双脚接触地面的瞬间。

 特征包括：
  
 脚踝坐标突然下降