2025年美国大学生数学建模竞赛（A题） 建模解析|小鹿学长带队指引全代码文章与思路

第一个问题是：“楼梯使用的频率如何？” 要估算楼梯使用的频率，我们可以从磨损数 据的分析入手，并建立一个数学模型来量化楼梯的使用频率。我们假设楼梯的磨损是直接 与其使用频率正相关的。 假设 1. 不同位置的磨损深度不同，且随着使用频率的不同，磨损深度存在显著差异。 2. 每个踩踏的使用都导致一定的磨损量。 变量定义 • $D$: 楼梯某一特定区域的磨损深度（单位：mm） • $F$: 楼梯的总使用频率（单位：人次/天） • $N$: 假设的每次使用造成的磨损深度（单位：mm/次），这一数值可能依赖于使用者的体 重、鞋底材料等。 • $t$: 楼梯使用的天数 关系模型 对于楼梯上某一特定区域的磨损情况，我们可以构建以下模型： 1. 设定磨损深度$D$与使用频率$F$之间的关系： $$ D = N \cdot F \cdot t $$ 2. 从上式我们可以推导出使用频率$F$： $$ F = \frac{D}{N \cdot t} $$ 计算步骤 1. 测量磨损深度：考古学家需在楼梯上选取几个代表性位置，使用非破坏性的方法 如激光测距仪或厚度计来测量这些位置的磨损深度$D$。 2. 确定磨损量: 需要通过文献调研或者实验来估计每次使用导致的磨损深度$N$，这 可能涉及到不同类型鞋底和使用者体重的影响。 3. 确定观察时间段：选择一个合理的时间段$t$，如一年或一个月，以便进行计算。 4. 计算使用频率$F$：代入实际测量值，通过上述公式计算出楼梯的使用频率。