2024 高教社杯 数学建模国赛 C题深度剖析|数学建模完整代码+建模过程全解全析

赛中紧张进行ing，我们团队本题也完成了相应的内容！！！

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（进阶版）2024 高教社杯（C题）数学建模国赛 深度剖析|数学建模完整代码+建模过程全解全析

当大家面临着复杂的数学建模问题时，你是否曾经感到茫然无措？作为2022年美国大学生数学建模比赛的O奖得主，我为大家提供了一套优秀的解题思路，让你轻松应对各种难题！
CS团队倾注了大量时间和心血，深入挖掘解决方案。通过数值模拟，蒙特卡罗模拟、风险评估模型等算法，设计了明晰的项目，团队努力体现在每个步骤，确保方案既创新又可行，为大家提供了全面而深入的洞见噢～

让我们来看看国赛（C题）！

## 问题一

第一个问题是要求针对某乡村的农作物种植进行建模，给出2024~2030年农作物的最优种植方案，并分别考虑以下两种情况：

1. 如果某种作物每季的总产量超过相应的预期销售量，超过部分滞销，造成浪费。
2. 如果某种作物每季的总产量超过相应的预期销售量，超过部分按2023年销售价格的50%降价出售。

最终结果需要分别填入 result1_1.xlsx 和 result1_2.xlsx 中。
为解决第一个问题，我们需构建一个优化模型，以确定2024~2030年该乡村的最优农作物种植方案。在建立模型时，我们需要明确变量、约束条件以及目标函数。以下是建立模型的步骤和关键组成部分。

### 一、变量定义

我们定义以下变量：

1. $x_{ij}^{t}$: 表示在年份$t$时，地块$i$上种植作物$j$的面积（亩），其中$i=1, 2, \ldots, N$（$N$为地块总数），$j$为作物类别（如小麦、玉米、大棚蔬菜等），$t=2024, \ldots, 2030$。

2. $P_j$: 作物$j$的预计销售量（亩）。

3. $Y_j$: 作物$j$的亩产量（斤）。

4. $C_j$: 作物$j$的种植成本（元/亩）。

5. $R_j$: 作物$j$的销售价格（元/斤）。

### 二、目标函数

根据题意，我们的目标是最小化生产成本，同时确保在遵循销售限制的条件下最大化收益。可以用以下目标函数表示：

1. **第一个情况**（滞销，造成浪费）：

$$
\text{Maximize: } Z_1 = \sum_{j} (R_j \cdot Y_j \cdot \sum_{i} x_{ij}^{t} - C_j \cdot \sum_{i} x_{ij}^{t})
$$
$$
\text{s.t.: } \sum_{i} x_{ij}^{t} \leq P_j, \text{ for all } j
$$

2. **第二个情况**（降价出售超过的部分）：

$$
\text{Maximize: } Z_2 = \sum_{j} \left( R_j \cdot Y_j \cdot \sum_{i} x_{ij}^{t} - C_j \cdot \sum_{i} x_{ij}^{t} + \frac{1}{2} R_j \cdot \max(0, \sum_{i} x_{ij}^{t} \cdot Y_j - P_j) \right)
$$

### 三、约束条件

1. **耕地资源约束**：所有作物的种植面积不能超过耕地总面积：

$$
\sum_{j} \sum_{i} x_{ij}^{t} \leq 1201, \text{ for all } t
$$

2. **地块类型约束**：选择的作物必须符合地块类型的适种性。

3. **种植间作的要求**：同一地块、同一季节不重复种植相同的作物，且各作物在同一地块的栽种面积不宜过小。

4. **豆类作物轮作要求**：每个地块在三年内至少种植一次豆类作物。

5. **面积不小于阈值**：每种作物在所有地块的种植面积应大于最小阈值（例如，每种作物种植面积的下限可以设定为0.1亩）。

### 四、模型求解

使用整数规划（例如，通过线性规划方法如单纯形法或分支定界法）求解以上问题，并根据所定义的目标函数和约束条件，得到各个作物在不同年份和地块上的最优种植面积。

### 五、结果输出

将得到的最优种植方案分别填入 result1_1.xlsx 和 result1_2.xlsx 中，满足两个不同的情境分析。

以上是针对第一个问题的数学建模，包括了目标函数的建立、约束条件的描述及求解方法的提议。实际建模时可能需要根据具体数据进行适当调整。
在解决第一个问题中，我们需要制定一个数学模型来优化特定乡村在2024至2030年间的农作物种植计划，针对两种不同的销售情况下的过剩产量。以下是对问题进行建模的步骤和思路。

### 模型构建

1. **参数设定**：
  - 定义变量：
    - $x_{ij}$：表示在年份$j$（$j = 2024, 2025, \ldots, 2030$）中，在地块$i$中种植的作物量（亩）。
  - 营养与经济参数：
    - $S_{ij}$：作物$i$在年份$j$的预期销售量（亩）。
    - $C_{i}$：作物$i$的种植成本（元/亩）。
    - $P_{i}$：作物$i$的销售价格（元/亩）。
    - $Y_{i}$：作物$i$的亩产量（吨/亩）。
    - $M_{ij}$：作物$i$的主要生产地块（总面积）。

2. **目标函数**：
  - 第一个情景（过剩部分滞销）下的目标函数为：
   
   $$
   \text{Maximize } Z_1 = \sum_{j=2024}^{2030} \sum_{i} (x_{ij} \cdot P_i) - \sum_{j=2024}^{2030} \sum_{i} (x_{ij} \cdot C_i)
   $$
   
  - 第二个情景（过剩部分按50%降价出售）的目标函数为：
   
   $$
   \text{Maximize } Z_2 = \sum_{j=2024}^{2030} \sum_{i} \min(Y_{i} \cdot x_{ij}, S_{ij}) \cdot P_i + \sum_{j=2024}^{2030} \sum_{i} \max(0, Y_{i} \cdot x_{ij} - S_{ij}) \cdot (0.5 \cdot P_i) - \sum_{j=2024}^{2030} \sum_{i} (x_{ij} \cdot C_i)
   $$
   
3. **约束条件**：
  - 可种植面积约束：
   
   $$
   \sum_{i} x_{ij} \leq M_{ij}, \quad \forall j
   $$
   
  - 连作限制（豆类种植）：
   
   $$
   x_{ij} \text{不连续种植同一作物}
   $$
   
  - 豆类种植周期性约束：
   
   $$
   \sum_{j \text{ within 3 years}} x_{ij} \geq 1 \text{（针对豆类作物）}
   $$
   
4. **求解方法**：
  - 可采用线性规划或整数线性规划的方法进行求解，软件工具如Cplex、Gurobi等可用于此类问题。

5. **结果分析**：
  - 根据不同的种植方案计算2014至2030年的收益，形成不同情况下的结果，并按要求填写到 result1_1.xlsx 和 result1_2.xlsx。

### 解题妙法

在模型构建过程中，农作物种植策略的优化不仅仅是经济收益的最大化，也应充分考虑生态可持续性。例如，合理轮作豆类和粮食作物可以改善土壤肥力，提升作物整体产量。同时，推广智慧大棚的使用可以大幅度提高蔬菜类作物的产出频率，减少因生产周期短而带来的、生长期不一致的问题。

此外，预期销售量与市场动态之间的关系在损失缓解方面也需要关注。对于第二种情况，合理的定价策略（如清仓打折）不仅可以有效减少损失，还可以维护品牌声誉并吸引消费者。因此，在进行作物种植模型的过程中，设计出更具前瞻性的市场策略也是至关重要的。
要解决问题1，我们需要建立一个数学模型来优化乡村农作物的种植方案，主要涉及以下几个步骤：

1. **定义变量**：
  - 令$x_{i,j,k,t}$表示在年度$t$（$t=2024, 2025, \ldots, 2030$）的时间段内，第$i$个地块（包括大棚）种植第$j$种作物的面积（亩），其中$j$的取值包括各类作物（如小麦、玉米、水稻、蔬菜、豆类等）。
  - 设定每种作物的具体参数，包括亩产量、种植成本、预期销售量、销售价格等。

2. **建立目标函数**：
  - 我们的目标是最大化乡村的总收益。可以定义目标函数为：
  $$
  \text{Maximize } Z = \sum_{t=2024}^{2030} \sum_{i=1}^{34} \sum_{j=1}^{J} (P_j \cdot y_{i,j,t} - C_j \cdot x_{i,j,t})
  $$
  其中$P_j$是第$j$种作物的销售价格，$C_j$是第$j$种作物的种植成本，$y_{i,j,t}$是第$i$个地块上第$j$种作物的总产量，可以通过$y_{i,j,t} = x_{i,j,t} \cdot A_j$获得，$A_j$为每亩的亩产量。

3. **约束条件**：
  - 耕地总面积限制：每个地块的种植面积不能超过该地块的耕地面积。
  $$
  \sum_{j=1}^{J} x_{i,j,t} \leq A_i, \quad \forall i, t
  $$
  其中$A_i$是第$i$个地块的耕地面积。
  
  - 种植三年的豆类轮作限制：
  $$
  \sum_{t=2023}^{t} \mathbf{1}_{j=\text{豆类}} x_{i,j,t} \geq 1, \quad \forall i, t
  $$
  这里$\mathbf{1}_{j=\text{豆类}}$是指示函数，当$j$为豆类时值为1。
  
  - 科学管理的种植面积限制：每种作物在单个地块种植的面积不宜太小，可以设定下限：
  $$
  x_{i,j,t} \geq m, \quad \forall i, j, t
  $$
  其中$m$是设定的最小种植面积。

4. **考虑滞销情况**：
  - 当某作物的产量超过预期销售量时，这部分产量将变为浪费。在收益计算中，我们需要用不超过销售量的部分参与收益计算。
  - 设定$S_j$为第$j$种作物的预期销售量，那么对于每种作物的净收益为 :
  $$
  R_j = \min\left(y_{i,j,t}, S_j\right) \cdot P_j - C_j \cdot x_{i,j,t}
  $$

5. **优化模型求解**：
  - 利用线性规划或混合整数规划方法进行求解，得到最优种植方案。

6. **结果输出**：
  - 基于此优化模型，得到的结果需要填入到`result1_1.xlsx`和`result1_2.xlsx`中。

为了满足第二种情况（超出部分按50%降价出售），我们仅需对收益计算进行调整：
$$
R_j = \min\left(y_{i,j,t}, S_j\right) \cdot P_j + \max\left(0, y_{i,j,t} - S_j\right) \cdot 0.5 \cdot P_j - C_j \cdot x_{i,j,t}
$$

这套模型将使我们能够优化乡村的农作物种植策略，最大化收益，并分别考虑产量超过销售量的情况。
```python
import pandas as pd
import numpy as np
from scipy.optimize import linprog

# 读取2023年的农作物种植和相关统计数据
data_2023 = pd.read_excel('attachment_2.xlsx')

# 假设数据结构如下
# data_2023 = {
#   'crop': ['wheat', 'corn', 'rice', 'vegetable', 'mushroom'],
#   'expected_sales': [1000, 800, 600, 2000, 1500],
#   'production_cost': [300, 350, 250, 200, 150],
#   'yield_per_acre': [1500, 1400, 1200, 1000, 800],
#   'selling_price': [2, 2.5, 3, 4, 5]
# }

# 自定义变量
years = list(range(2024, 2031))
acres = 1201 # 总耕地面积
fields_count = 34 # 地块数量
crops = data_2023['crop'].to_list()
expected_sales = data_2023['expected_sales'].to_list()
production_cost = data_2023['production_cost'].to_list()
yield_per_acre = data_2023['yield_per_acre'].to_list()
selling_price = data_2023['selling_price'].to_list()

# 建立决策变量，数量为每个作物在每年所种植的面积
num_vars = len(crops) * len(years)
c = np.zeros(num_vars)

# 构建目标函数系数：种植成本
for i in range(len(crops)):
  for j in range(len(years)):
    c[i * len(years) + j] = production_cost[i]

# 不等式约束：每年种植面积限制
A_ub = np.zeros((1, num_vars))
b_ub = np.zeros(1)
A_eq = np.zeros((1, num_vars))
b_eq = np.zeros(1)

for j in range(len(years)):
  for i in range(len(crops)):
    A_ub[0, i * len(years) + j] = 1
  b_ub[0] = acres

# 进入总产量和销售约束
for j in range(len(years)):
  A_eq_row = np.zeros(num_vars)
  for i in range(len(crops)):
    A_eq_row[i * len(years) + j] = yield_per_acre[i] # 总产量
  A_eq[j] = A_eq_row
  b_eq[j] = sum(expected_sales) # 需满足的销售量

# 优化模型：超出部分滞销造成浪费
result1_1 = linprog(c, A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, A_eq=A_eq, b_eq=b_eq, method='highs')

# 提取结果
def extract_results(result, crops, years):
  planting_scheme = np.zeros((len(crops), len(years)))
#见完整版
```


## 问题二

根据经验，小麦和玉米未来的预期销售量有增长的趋势，平均年增长率介于5%~10%之间，其他农作物未来每年的预期销售量相对于2023年大约有±5%的变化。农作物的亩产量往往会受气候等因素的影响，每年会有±10%的变化。因受市场条件影响，农作物的种植成本平均每年增长5%左右。粮食类作物的销售价格基本稳定；蔬菜类作物的销售价格有增长的趋势，平均每年增长5%左右。食用菌的销售价格稳中有降，大约每年可下降1%-5%，特别是羊肚菌的销售价格每年下降幅度为5%。

为了给出该乡村2024~2030年的最优农作物种植方案，我们需要建立一个综合考虑预期销售量、亩产量、种植成本和销售价格等不确定性因素的数学模型。下面是解决方案的详细步骤和建模思路。

### 一、模型构建

#### 1. 参数定义
设定以下参数：
- $Y_{t,j}$：第 $t$ 年作物 $j$ 的预期销售量（单位：斤）
- $P_{t,j}$：第 $t$ 年作物 $j$ 的销售价格（单位：元/斤）
- $C_{t,j}$：第 $t$ 年作物 $j$ 的种植成本（单位：元/亩）
- $A_{t,j}$：第 $t$ 年作物 $j$ 的亩产量（单位：斤）
- $S_j$：作物 $j$ 在每年可以种植的最大面积（单位：亩）
- $R_t$：每年的资源限制（总耕地面积，1201亩）

#### 2. 不确定性建模
根据题目的描述，我们引入不确定性，具体如下：
- 小麦和玉米的预期销售量增长率为 $g_{t,j} \sim [0.05, 0.10]$（每年）
- 其他作物的销售量变化为 $g_{t,k} \sim [-0.05, 0.05]$（其中 $k$ 表示其他作物）
- 亩产量的变化 $A_{t,j}$ 受气候影响，变化范围为 $\pm 10\%$
- 种植成本每年增长 $5\%$，即 $C_{t,j} = C_{t-1,j} \times (1+0.05)$
- 蔬菜类作物价格增长率 $p_{t,k} = p_{t-1,k} \times (1+0.05)$
- 食用菌价格下降，范围为1%至5%

#### 3. 决策变量
引入决策变量：
- $X_{t,j}$：第 $t$ 年种植作物 $j$ 的面积（单位：亩）

#### 4. 目标函数
最大化乡村的总收益 $R$，可表示为：
$$
R = \sum_{t=2024}^{2030} \sum_{j=1}^{M} \left( P_{t,j} \cdot A_{t,j} \cdot X_{t,j} - C_{t,j} \cdot X_{t,j} \right)
$$
其中 $M$ 为作物种类总数。

#### 5. 约束条件
- 总耕地面积约束：
$$
\sum_{j=1}^{M} X_{t,j} \leq R_t \quad \forall t
$$
- 每种作物的最大种植面积约束：
$$
X_{t,j} \leq S_j \quad \forall t, j
$$
- 每种作物的重茬约束（不能连续种植）：
$$
X_{t,j} \neq 0 \Rightarrow X_{t-1,j} = 0 \quad \forall t, j
$$
- 豆类作物的轮作要求（每三年种植一次豆类）：
$$
\sum_{t'=t-3}^{t} X_{t',j_{豆类}} \geq 1 \quad \forall t \text{ (第3年及以后) }
$$

### 二、数据模拟
为了应对不确定性，可以使用蒙特卡罗模拟的方法生成未来六年的预期销售量、亩产量、种植成本和销售价格。通过重复多次的随机试验，可以得出收益的分布情况。

### 三、求解与分析
使用线性规划或整数规划算法（如单纯形法或分支限界法）来求解该优化模型，得到种植方案。根据不同的情况（如价格变化不同、单品种间互补性等），可构建不同的模型进行比较分析。

### 四、结果整理
最终的结果将整理到 `result2.xlsx` 文件中，包括每年每种农作物的种植面积、预期收益和其他相关信息。

通过以上步骤，可以为该乡村制定出合理的农作物种植策略，以增加经济效益并降低种植风险。
为了制定该乡村2024~2030年的农作物最优种植方案，我们需要综合考虑未来预期销售量、亩产量、种植成本和销售价格的不确定性和潜在风险。
以下是一种系统性的解决方案，其中包含了模型构建步骤、公式和解题妙法。

### 1. 数据准备

首先，收集2023年的农作物数据（销售量、亩产量、生产成本和销售价格），然后根据给定的增长率和变化范围，计算2024~2030年的变化。

- 设定各类作物的目标变量：
 - $Y_t$：作物 $i$ 在年 $t$ 的预期销售量
 - $C_t$：作物 $i$ 在年 $t$ 的种植成本
 - $P_t$：作物 $i$ 在年 $t$ 的销售价格
 - $Y_{i,2023}$：作物 $i$ 在2023年的预期销售量
 - $C_{i,2023}$：作物 $i$ 在2023年的种植成本
 - $P_{i,2023}$：作物 $i$ 在2023年的销售价格

#### 公式：
- 对于小麦和玉米，预期销售量：
 $$ 
 Y_t = Y_{i,2023} \times (1 + r)^{t-2023} 
 $$
 其中$r$在$[0.05, 0.10]$之间。

- 其他作物的预期销售量：
 $$ 
 Y_t = Y_{i,2023} \times (1 + \epsilon) 
 $$
 其中$\epsilon$在$[-0.05, 0.05]$之间。

- 种植成本计算：
 $$ 
 C_t = C_{i,2023} \times (1 + 0.05)^{t-2023} 
 $$

- 销售价格变化（粮食类、蔬菜和食用菌）：
 - 粮食类作物：
 $$
 P_t \text{ (基本稳定)}
 $$
 - 蔬菜类作物：
 $$
 P_t = P_{i,2023} \times (1 + 0.05)^{t-2023}
 $$
 - 食用菌，特别是羊肚菌：
 $$
 P_t = P_{i,2023} \times (1 - d)^{t-2023}
 $$
 其中$d$在$[0.01, 0.05]$之间，特别是羊肚菌$d = 0.05$。

### 2. 目标函数

设定目标函数，以实现总利润最大化：

$$ 
\text{Maximize } Z = \sum_{t=2024}^{2030} \sum_{i} \left( P_{i,t} \cdot Y_{i,t} - C_{i,t} \cdot A_{i,t} \right) 
$$

其中$A_{i,t}$为种植的面积。

### 3. 约束条件

需要考虑以下几项限制条件：

1. 土地面积限制：
  $$
  \sum_{i} A_{i,t} \leq \text{总耕地面积}
  $$

2. 三年轮作要求：
  $$ 
  \text{至少每三年种植一次豆类作物}
  $$

3. 种植面积应适度：
  $$ 
  A_{i,t} \geq \text{最小种植面积}
  $$

4. 其他田间管理便利性的要求。

### 4. 不确定性分析

对于不确定性，我们可以运用情景分析或者蒙特卡洛模拟方法来评估可能的风险与收益，从而调整种植方案。

### 5. 计算及结果呈现

通过线性规划或整数规划模型实现计算，并将最佳种植方案填入result2.xlsx中。利用软件（如Python的SciPy、Gurobi等）进行求解。

### 6. 独特见解

- **耕作多样性的重要性**：多样化种植能够在气候变化和市场波动中提供保障，通过轮作和间作减少土壤疲劳，保持土壤健康，从而提高长期的农业可持续性。
  
- **智能农业的未来**：考虑引入技术（如精准农业和智能大棚管理）来提高作物生长效率和降低风险。同时